关于具有不连续尺度的扩散过程

众所周知，区间 $I$ 上无内部消灭的正则扩散由典范尺度函数 $s$ 和典范速度测度 $m$ 唯一确定。注意 $s$ 是严格递增的连续函数，$m$ 是 $I$ 上完全支撑的 Radon 测度。在本文中，我们通过 Dirichlet 型将一般三元组 $(I,s,m)$（其中 $s$ 仅假设为递增，$m$ 不一定完全支撑）关联到某些马尔可夫过程。利用分别称为尺度补全和缝合（darning）的两种变换来重建 $I$ 的拓扑，我们将成功正则化三元组 $(I,s,m)$ 并获得与之关联的正则 Dirichlet 型。相应的马尔可夫过程称为与 $(I,s,m)$ 关联的正则化马尔可夫过程。事实上，它是正则 Dirichlet 型正则表示背景下能与 $(I,s,m)$ 关联的唯一的（同胚意义下）马尔可夫过程。作为正则化马尔可夫过程的副产品，一个不满足强马尔可夫性质的连续简单马尔可夫过程也将被提出，以在不进行正则化程序的情况下与 $(I,s,m)$ 关联。此外，我们将证明正则化马尔可夫过程可识别为一维无内部消灭的无跳跃 Hunt 过程以及准扩散。注意无跳跃 Hunt 过程推广了正则扩散的概念，并以类似方式容许尺度函数和速度测度。