论简谐振荡的检测

本文关注以下检验问题：假设我们在网格 $0,1,\ldots,N-1$ 上观测到一个被高斯白噪声污染的实值信号。我们希望区分两个假设：(a) 信号是一个干扰项——已知频率的 $d_n$ 个简谐振荡的线性组合；(b) 信号是一个干扰项与给定数量 $d_s$ 个频率未知的简谐振荡的线性组合之和，且信号与干扰项集合之间的距离（以网格上的一致范数度量）至少为 $\rho>0$。我们提出了一种计算高效的检验方法来区分 (a) 和 (b)，并证明其“分辨率”（在给定置信度 $1-\alpha$ 下能够区分 (a) 和 (b) 的最小 $\rho$ 值）为 $\mathrm{O}(\sqrt{\ln(N/\alpha)/N})$，其中隐藏因子仅依赖于 $d_n$ 和 $d_s$，与所涉频率无关。我们证明，在 $d_n,d_s$ 上为多项式因子且在 $N$ 上为对数因子的精度内，该分辨率是当前条件下的最佳可能结果。我们进一步将上述结果推广至干扰项和信号接近简谐振荡线性组合的情形，并提供了说明性数值结果。