关于秩一群的三次作用

我们考虑一个秩一群 $G = \langle A,B \rangle$ 在模 $V$ 上三次作用，这意味着 $[V,A,A,A] =0$ 但 $[V,G,G,G] \ne 0$。我们必须区分子群 $A_0 :=C_A([V,A]) \cap C_A(V/C_V(A))$ 是平凡还是非平凡。我们证明，若 $A_0$ 平凡，则 $G$ 是一个与二次 Jordan 可除代数相关联的秩一群。若 $A_0$ 非平凡（当 $A$ 非交换时总是如此），则 $A_0$ 定义了 $G$ 的一个子群 $G_0$，该子群在 $V$ 上二次作用。我们称 $G_0$ 为 $G$ 的 \textit{二次核}。根据 Timmesfeld 的一个结果，对于某个环 $R$ 和一个特殊的二次 Jordan 可除代数 $J \subseteq R$，我们有 $G_0 \cong \SL_2(J,R)$。我们证明 $J$ 要么是含于一个交换域中的 Jordan 代数，要么是一个 Hermite Jordan 代数。在第二种情形，$G$ 是一个 Witt 指数为 $1$ 的伪二次型 $\pi$ 的特殊酉群；在第一种情形，$G$ 是一个 Freudenthal 三元系的秩一群。这些结果意味着，若 $(V,G)$ 是一个二次对，使得任意两个不同的根子群都不交换，且 $\characteristic V\ne 2,3$，则 $G$ 是一个酉群或一个例外代数群。