关于使用Lanczos方法求解线性系统的不精确Rayleigh商迭代的收敛性

对于Hermitian不精确Rayleigh商迭代(RQI)，作者建立了新的局部一般收敛结果，该结果独立于内层线性系统的迭代求解器。理论表明，在称为一致正定性条件的新条件下，该方法局部二次收敛。本文首先考虑使用无预条件Lanczos方法求解线性系统的不精确RQI的局部收敛性。我们推导了由Lanczos方法得到的线性系统残差（其范数为$\xi_{k+1}$）的一些吸引人的性质。基于这些性质以及新的一般收敛结果，我们进行了精细分析并建立了新的局部收敛结果。证明表明，若$\xi_{k+1}\leq\xi$且常数$\xi\geq 1$，则使用Lanczos方法的不精确RQI二次收敛。若$\xi_{k+1}$被当前近似特征对残差范数$\|r_k\|$的倒数的一个小倍数所界定，则该方法保证线性收敛。这些结果与始终要求$\xi_{k+1}<1$的现有收敛结果有根本不同，并对方法的有效实现有重要影响。我们将新理论扩展到使用调谐预条件Lanczos方法求解线性系统的不精确RQI。基于新理论，我们可以设计实用准则来控制$\xi_{k+1}$以实现二次收敛，并比以往更有效地实现该方法。数值实验证实了我们的理论。