H"{o}lder 度量亚规则性下的不完全 Levenberg-Marquardt 方法

本文研究了两种用于求解非线性方程组的不完全 Levenberg-Marquardt (LM) 方法。这两种方法都通过在特定残差条件下不完全求解 LM 线性方程组来计算近似搜索方向。第一种方法使用自适应方案更新 LM 参数，在 H"older 度量亚规则性和梯度的局部 H"older 连续性下，证明了其局部超线性收敛性。第二种方法将不完全 LM 步与非单调二次正则化策略相结合。对于这一变体，我们在梯度 Lipschitz 连续的假设下证明了全局收敛性，并推导出最坏情况的全局复杂度界，表明在 $\mathcal{O}(\epsilon^{-2})$ 次函数和梯度评估后，可找到近似 stationary 点。最后，我们说明了 LSQR 算法用于高效求解涉及的线性方程组的合理性，该算法在我们用于求解多个非线性方程组的数值实验中得到了应用，包括出现在实际生化反应网络、单调方程和非线性方程，以及图像去模糊问题中的方程。