论 Chorin 投影法向 Leray-Hopf 弱解的收敛性

求解不可压缩 Navier-Stokes 方程的投影法最早由 Chorin [Math. Comp., 1969] 在有限差分法框架下以及 Temam [Arch. Rational Mech. and Anal., 1969] 在有限元法框架下研究。Chorin 在假设存在 $C^5$-解的前提下,对具有周期边界条件的问题展示了逼近的收敛性及其误差估计,而 Temam 给出了一个抽象论证,以在有界域上具无滑移边界条件的问题中获得 Leray-Hopf 弱解。本文中,作者详尽地推广 Chorin 的结果,以获得在 $\mathbb{R}^3$ 中任意有界 Lipschitz 域上具无滑移边界条件及外力项的不可压缩 Navier-Stokes 方程的 Leray-Hopf 弱解的一致收敛有限差分逼近。我们证明了隐式格式的无条件可解性,以及在缩放条件 $h^{3-\alpha}\le\tau$(无需上界)下的强 $L^2$-收敛(沿子列),其中 $h,\tau$ 分别为空间、时间离散参数,$\alpha\in(0,2]$ 为任意固定常数。结果包含一种基于阶跃函数新插值不等式的紧致性方法。