关于纤维积的共轭可分性

本文研究了两个自由群（或双曲群）的直积子群的共轭可分性。我们建立了充要判据，并将其应用于纤维积，从而构造出一个有限展示群 $G_1$，其所有有限指数子群均为共轭可分的，但该群拥有一个指数为 2 的超群不是共轭可分的。反之，我们构造了一个有限展示群 $G_2$，它拥有一个指数为 2 的非共轭可分子群，而其每一个有限指数正规超群都是共轭可分的。在最后一个例子中，超群的正规性至关重要，因为这样的群 $G_2$ 总是拥有一个指数为 3 的非共轭可分超群。最后，我们刻画了两个自由群的 $p$-共轭可分直积子群，其中 $p$ 为素数。我们证明了纤维积在剩余有限 $p$-群与两个非阿贝尔自由群的 $p$-共轭可分直积子群之间提供了一种自然对应。由此推论，关于是否存在无限有限展示剩余有限 $p$-群的开放问题，等价于关于在两个自由群的直积中是否存在无限指数的有限生成 $p$-共轭可分满直积子群的问题。