关于复值二维程函。第四部分：在焦散线后的延拓

Felsen、Kravtsov、Ludwig等人设计了单色高频电磁场理论，旨在描绘几何光学所忽略的特征。这些理论借助了编码相位和振幅信息的程函——换言之，即复值程函。其背后的数学原理是：任何由常规射线在某个光照区域产生的几何光学程函，都可以在相关焦散线后的阴影区域中一致地延拓，前提是引入一个具有非零虚部的替代程函。在本文中，我们探讨了二维情况下的这一原理。我们研究了一个控制二维复值程函实部和虚部的偏微分方程组，以及与之相关的初值问题。用物理术语来说，所处理的问题相当于检测在给定焦散线旁侧但位于其暗侧产生的波。用数学术语来说，该问题显示出两个主要特性：一方面，在初始曲线附近存在退化；另一方面，在Hadamard意义下是不适定的。我们利用了一系列技术手段：hodograph变换、人工粘性和适当的离散化。还涉及了近似微分和准可逆性方法的模拟。我们提供了一种算法，该算法能抑制不稳定性并产生有效的近似解。