利用演化容器从 Sturm-Liouville 微分方程导出的完全可积多项式偏微分方程：KdV 层级

本工作提出了一种构造某些多项式类型演化偏微分方程 $q'_t = P(q,q'_x,...)$ 解的方案，其中 $P$ 是有限个变量的多项式。该方案是利用 Sturm-Liouville 微分方程的逆散射求解完全可积偏微分方程这一现有技术的推广。KdV 方程 $q'_t = - 3/2 q q'_x + 1/4 q"'_{xxx}$ 是一个特例，对应于 1 型演化方程。我们给出了 0 型的完整解，并提出了对应于无穷多个多项式演化方程的 KdV 层级，该层级更多是针对 $\beta = 1/2 \int_0^x q(y,t)dy$ 而非 $q(x,t)$ 本身，其形式为 $\beta'_t = i^n b_n(\beta'_x)$，其中 $b_0 = -1/4 \beta"'_{xxx} + 3/2 (\beta'_x)^2$ 对应于 KdV 方程，且 $4 (b_{n+1})'_x = -i (b_n)_{xxx}"' + 4i (\beta'_xb_n)'_x$。我们为每个此类演化方程给出了孤子解（即仅包含纯指数），展示了该解构造的“简单性”。