熵不确定原理中非高斯渐近极小类的探讨
概率论
2014-06-23 v1
摘要
本文重新考察 Bialynicki-Birula & Mycielski 不确定原理及其取等情形。这一著名的 Heisenberg 不确定原理的 Shannon 熵版本可用于处理无方差的变量。本文将此不确定原理推广至 Renyi 熵。我们回顾，在 Shannon 与 Renyi 两种情形中，对给定维数 n，唯一取等情形发生于高斯随机向量。然而我们证明，当 n 增大时，该界亦在 n 维 Student-t 与 Student-r 分布情形下渐近达到。对一特殊 Student-t 分布情形作了完整的解析研究。我们还通过数值表明，该效应对 n 维 Cauchy 变量的特例存在，无论所考虑的 Renyi 熵为何，从而推广了 Abe 的结果并阐释了 Student-t 情形的解析渐近研究。在 Student-r 情形，我们通过数值表明同样的行为对均匀分布的向量发生。这些特例及本文考察的其他例子饶有趣味，因为它们表明此渐近行为不能视为维数增长时向量的“高斯化”。
引用
@article{arxiv.math/0605510,
title = {On classes of non-Gaussian asymptotic minimizers in entropic uncertainty principles},
author = {S. Zozor and C. Vignat},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0605510},
year = {2014}
}