关于紧致 Zakharov 方程的某些性质

我们在 Zakharov & Dyachenko (2011) 最近推导的用于单向深水波的紧致 Zakharov 方程框架内，研究了接近调制不稳定性阈值的弱扰动波列的长时间演化。多尺度解表明，对波陡度为 $\mu$ 的略不稳定均匀波列的扰动，其缓慢演化遵循非线性薛定谔方程。具体而言，对于小载波波陡度 $\mu<\mu_1\sim 0.27$，扰动动力学属于聚焦型，其长时间行为以 Fermi-Pasta-Ulam 回归为特征，这是呼吸子相互作用的标志。然而，随着 $\mu$ 增加，呼吸子的振幅及其出现的可能性趋于减小，而 Benjamin-Feir 指数则下降并在 $\mu_1$ 处变为零。因此，同宿轨道仅在小波陡度值 $\mu\ll\mu_1$ 时存在，这与近期关于呼吸子的实验和数值观测一致。当波陡度 $\mu>\mu_1$ 时，Zakharov 方程已超出其名义有效范围，预测似乎预示了波浪破碎的动力学趋势。具体而言，扰动动力学变为散焦型，非线性倾向于稳定线性不稳定的波列，因为 Fermi-Pasta-Ulam 回归被抑制。在 $\mu=\mu_c\sim 0.577$ 处，次谐波扰动重新稳定并出现超谐波不稳定性，这可能表明大波陡度下的波浪动力学行为发生变化，这与 Longuet-Higgins 和 Cokelet (1978) 对陡波的数值模拟在定性上一致。事实上，对于 $\mu>\mu_c$，多尺度扰动分析表明，均匀波列的弱窄带扰动按照修正的 Korteweg-de Vries/Camassa-Holm 型方程演化，再次暗示了一种可能诱发波浪破碎的机制。