关于柯西对偶算子及向量值解析函数巴拿赫空间的对偶性

本文研究了两类相关的对偶性。第一类是左可逆算子之间的对偶性，第二类是向量值解析函数巴拿赫空间之间的对偶性。我们将考察一对 ($\mathcal{B},\Psi$)，其中 $\mathcal{B}$ 是一个自反巴拿赫空间，由在其上作用的左可逆乘法算子的向量值解析函数构成，而 $\Psi$ 是一个算子值全纯函数。我们证明存在对偶对 ($\mathcal{B}^\prime,\Psi^\prime$)，使得空间 $\mathcal{B}^\prime$ 与空间 $\mathcal{B}^*$ 酉等价，并且如下交织关系成立 \begin{equation*} \mathscr{L} \mathcal{U} = \mathcal{U}\mathscr{M}_z^* \quad\text{and}\quad \mathscr{M}_z\mathcal{U} = \mathcal{U} \mathscr{L}^*, \end{equation*} 其中 $\mathcal{U}$ 是 $\mathcal{B}^\prime$ 与 $\mathcal{B}^*$ 之间的酉算子。此外我们表明 $\Psi$ 与 $\Psi^\prime$ 通过关系 \begin{equation*} \langle(\Psi^\prime( \bar{z}) e_1) (\lambda),e_2\rangle= \langle e_1,(\Psi( \bar{ \lambda}) e_2)(z)\rangle \end{equation*} 相联系，对一切 $e_1,e_2\in E$，$z\in \varOmega$，$\lambda\in \varOmega^\prime$ 成立。若左可逆算子 $T$ 满足特定条件，则 $T$ 与柯西对偶算子 $T^\prime$ 均可分别建模为向量值解析函数再生核希尔伯特空间 $\mathscr{H}$ 与 $\mathscr{H}^\prime$ 上的乘法算子。我们证明对偶对 $(\mathscr{H},\Psi)$ 的希尔伯特空间与 $\mathscr{H}^\prime$ 重合，其中 $\Psi$ 是某算子值全纯函数。此外，我们刻画了当通过将空间 $\mathscr{H}$ 与 $\mathscr{H}^\prime$ 等同于 $\mathcal{H}$ 所获得的空间对偶性与由柯西配对获得的对偶性相同时的情形。