关于平面均匀随机游走的 Borwein 猜想

令 $p_n(x)=\int_0^\infty J_0(xt)[J_0(t)]^n xt\,\mathrm{d}\, t$ 为欧几里得平面上 $n$ 步均匀随机游走的 Kluyver 概率密度。通过与二维量子场论中类似问题的联系，我们以封闭形式计算了三阶导数 $p_5'''(0^{+})$，从而给出了 J. M. Borwein 一个猜想的新证明。通过与量子场论中 Feynman 图的进一步类比，我们证明 $p_n(x),0\leq x\leq 1$ 对所有奇整数 $n\geq5$ 均存在一致收敛的 Maclaurin 展开，从而解决了 Borwein 的另一个猜想。