相空间最大熵随机游走：物理轨迹的类朗之万系综

正如统计学家 George Box 所言“所有模型都是错误的，但有些是有用的”，标准的扩散推导或 Feynman 路径系综使用了非物理的无限速度/动能且处处不可微的轨迹——这看似错误，可能只是我们为了简化数学而采用的近似。本文介绍了一些基本工具来探讨这一问题。为了考虑更具物理意义的有限速度轨迹系综，我们可以像朗之万方程那样在 $(x,v)$ 相空间中工作，其中速度控制空间步长，此处还受空间势 $V(x)$ 控制。我们推导并比较了四种预测稳态概率分布的方法：使用空间中步长/点的玻尔兹曼系综（GRW - 通用随机游走）或相空间中的玻尔兹曼系综（psGRW），以及类似地使用空间中路径的玻尔兹曼系综（MERW - 最大熵随机游走）和相空间中的玻尔兹曼系综（psMERW），并推广至 L{\'e}vy 飞行。路径系综通常具有更强的类安德森局域化，MERW 的稳态分布与量子基态完全一致。所提出的相空间中的新型 MERW 存在一些细微差异，这些差异可能在实验中被区分出来。例如，对于一维无限深势阱：步长系综的稳态分布为 $\rho=1$，路径系综为 $\rho\sim \sin^2$（如同量子力学中），而所提出的平滑路径系综为 $\rho\sim \sin$——由于随机获得的速度，其更频繁地接近势垒。