关于依赖于闭曲线曲率的Schrödinger算子的等周不等式

设$C$为$\mathbb{R}^3$中长度为$2\pi$的光滑闭曲线，$k(s)$为其曲率，视为弧长函数。我们将如下一维Schrödinger算子$H_C = -d^2/ds^2 + k^2$关联到该曲线，其作用在平方可积的$2\pi$-周期函数空间上。一个自然猜想是：对任意$C$，其最低谱值$e(C)$以$1$为下界（当$C$为圆时取到该值）。我们研究一族包含圆且同样满足$e(C)=1$的曲线。我们证明该族中的曲线是局部极小者，即，在偏离该族的小扰动下$e(C)$只会增加。据我们所知，完整猜想仍悬而未决。