关于 Gelfand--Dickey 层级的代数几何解

在[14]中，Dubrovin 引入一种 $A_1$ 类型无穷 ODE 系统，并给出一种简单的方法来构造 KdV 层级的代数几何解（参见[15,4]）。在[34]中，将该无穷 ODE 系统推广到 $\mathfrak{g}$ 类型无穷 ODE 系统，其中 $\mathfrak{g}$ 为任意简单 Lie 代数。在本文中，我们基于 $A_n$ 类型无穷 ODE 系统和 Dubrovin 方法，给出一种简单构造 Gelfand--Dickey 层级代数几何解的方法。作为应用，我们给出与相关黎布氏 $\theta$ 函数相关的 $N$ 点函数的公式。