关于局部有限图的邻接算子

若图 $\Gamma$ 的每个顶点 $v$ 在 $\Gamma$ 中的所有邻点集合 $\Gamma(v)$ 均为有限集，则称该图为局部有限图。对于任意顶点集为 $V(\Gamma)$ 的局部有限图 $\Gamma$ 以及任意域 $F$，令 $F^{V(\Gamma)}$ 为所有函数 $V(\Gamma) \to F$（具有自然的逐点运算）在 $F$ 上的向量空间，并令 $A^{({\rm alg})}_{\Gamma,F}$ 为线性算子 $F^{V(\Gamma)} \to F^{V(\Gamma)}$，定义为对所有 $f \in F^{V(\Gamma)}$、$v \in V(\Gamma)$ 有 $(A^{({\rm alg})}_{\Gamma,F}(f))(v) = \sum_{u \in \Gamma(v)}f(u)$。在有限图 $\Gamma$ 的情形下，映射 $A^{({\rm alg})}_{\Gamma,F}$ 是由 $\Gamma$ 的邻接矩阵（在 $F$ 上）定义的熟知算子，且此类算子的特征值与特征函数理论是有限图理论中发展完善的部分（至少在 $F = \mathbb{C}$ 的情形下）。本文针对任意无限局部有限图 $\Gamma$（尽管少数结果对有限图亦有价值）与域 $F$ 发展了 $A^{({\rm alg})}_{\Gamma,F}$ 的特征值与特征函数理论，并特别关注 $\Gamma$ 为具有一致有界顶点度且 $F = \mathbb{C}$ 的连通图的情形。作者认为，以往此方向上的尝试尚不能令人满意，因其局限于考察相当特殊的特函数及相应特征值。