关于Henning和Yeo关于2-填充数固定的一致线性系统横截数问题

线性系统是一对$(P,\mathcal{L})$，其中$\mathcal{L}$是有限基集$P$上的子集族，使得对于任意$l,l^\prime \in \mathcal{L}$，$|l\cap l^\prime|\leq 1$。如果线性系统$(P,\mathcal{L})$的$\mathcal{L}$的所有元素大小为$r$，则称该线性系统为$r$-一致线性系统。线性系统$(P,\mathcal{L})$的横截数$\tau(P,\mathcal{L})$是满足对每个$l\in\mathcal{L}$有$l\cap\hat{P}\neq\emptyset$的子集$\hat{P}\subseteq P$的最小基数。线性系统$(P,\mathcal{L})$的2-填充数$\nu_2(P,\mathcal{L})$是子集$R\subseteq\mathcal{L}$的最大基数，使得$R$中任意三个元素没有公共点（三重两两不交），即若在$R$中选取三个元素，则它们不交于同一点。对于$r\geq2$，令$(P,\mathcal{L})$为$r$-一致线性系统。在“M. A. Henning and A. Yeo: Hypergraphs with large transversal number, Discrete Math. 313 (2013), no. 8, 959--966.”中，Henning和Yeo提出以下问题：是否若$(P,\mathcal{L})$是$r$-一致线性系统，则$\tau(P,\mathcal{L})\leq\displaystyle\frac{|P|+|\mathcal{L}|}{r+1}$对所有$r\geq2$成立？在本短注中，我们给出了一些2-填充数固定的$r$-一致线性系统满足该不等式的结果。