关于相交线性系统中支配的一点注记

线性系统是一对 $(P,\mathcal{L})$，其中 $\mathcal{L}$ 是有限基集 $P$ 上的一族子集，使得对任意 $l,l^\prime \in \mathcal{L}$ 有 $|l\cap l^\prime|\leq 1$。$P$ 与 $\mathcal{L}$ 的元素分别称为点与线；若任意两条线恰交于一点，则称该线性系统为相交的。线性系统 $(P,\mathcal{L})$ 的点子集 $D$ 称为 $(P,\mathcal{L})$ 的支配集，若对任意 $u\in P\setminus D$，存在 $v\in D$ 使得对某个 $l\in\mathcal{L}$ 有 $u,v\in l$。线性系统 $(P,\mathcal{L})$ 的最小支配集的基数称为其支配数，记为 $\gamma(P,\mathcal{L})$。另一方面，线性系统 $(P,\mathcal{L})$ 的线子集 $R$ 称为 2- packing，若 $R$ 中任意三个元素无公共点（两两不交）。线性系统 $(P,\mathcal{L})$ 的最大 2-packing 的基数称为其 2-packing 数，记为 $\nu_2(P,\mathcal{L})$。已知秩为 $r$ 的相交线性系统满足 $\gamma(P,\mathcal{L})\leq r-1$。在本注记中我们证明：若 $q$ 为偶素数幂，且 $(P,\mathcal{L})$ 是秩为 $q+2$ 的相交线性系统并满足 $\gamma(P,\mathcal{L})=q+1$，则该线性系统可由 $q$ 阶射影平面的一个跨立的 $(q+1)$-一致相交线性子系统 $(P^\prime,\mathcal{L}^\prime)$ 构造，且满足 $\tau(P^\prime,\mathcal{L}^\prime)=\nu_2(P^\prime,\mathcal{L}^\prime)-1=q+1$。