关于同伦 Segal $ E_\infty $-Hopf 余 operad 的概念

我们在 $E_\infty$-代数范畴中定义了一种同伦 Segal 余 operad 的概念。我们在文中定义的这种 Segal 余 operad 模型，称之为同伦 Segal $E_\infty$-Hopf 余 operad，涵盖了由拓扑 operad 的上同调复形给出的例子，并为研究此类对象的同伦提供了框架。第一步，我们考虑一个 Segal $E_\infty$-Hopf 余 operad 范畴，其由按树索引的 $E_\infty$-代数集合组成，并配备对应于树态射的余积算子以及对应于子树包含的面算子。余积算子对树内运算的余积建模。面算子被假定满足 Segal 条件。我们旨在定义的同伦 Segal 余 operad 通过在余积算子的组合方案中整合同伦而形成。为此，我们将支配余积算子组合的函子结构替换为同伦函子的结构，该结构基于 $E_\infty$-代数范畴的立方 enrichment 而塑造。我们证明了我们意义下的每个同伦 Segal $E_\infty$-Hopf 余 operad 都弱等价于一个严格的 Segal $E_\infty$-Hopf 余 operad。我们还定义了同伦 Segal $E_\infty$-Hopf 余 operad 的同伦态射概念。我们证明每个同伦 Segal $E_\infty$-Hopf 余 operad 容许一个上 bar 构造，且每个同伦 Segal $E_\infty$-Hopf 余 operad 的同伦态射在此上 bar 构造上诱导一个态射，从而我们的方法提供了在 $E_\infty$-代数背景下对经典同伦余 operad 结构（当在微分分次模范畴中工作时由 operad 的 bar 对偶建模）的提升。