通过 Segal 条件的同伦相干代数

许多同伦相干代数结构可以由由“代数模式”决定的 Segal 型极限条件来描述，所谓代数模式我们是指一个配备有因子分解系统以及一组“基本”对象的 $\infty$-范畴。作为某个代数模式 $\mathcal{O}$ 的此类“Segal $\mathcal{O}$-空间”出现的结构例子包括 $\infty$-范畴、$(\infty,n)$-范畴、$\infty$- operad、$\infty$-properad，以及空间中 $\infty$-operad 的代数。在本文的第一部分，我们建立了代数模式及其 Segal 对象的一般框架，包括后者在左、右 Kan 扩张下得以保持的条件。特别地，我们得到了模式 $\mathcal{O}$ 上自由 Segal $\mathcal{O}$-空间可由显式余极限公式描述的充要条件，此时我们称 $\mathcal{O}$ 是“可扩张的”。在本文的第二部分，我们探讨了可扩张代数模式与多项式 monad 之间的关系，所谓多项式 monad 我们是指在预层 $\infty$-范畴上的笛卡尔 monad，其可访问且保持弱可缩极限。我们首先证明可扩张模式 $\mathcal{O}$ 的自由 Segal $\mathcal{O}$-空间 monad 总是多项式的。接下来，我们证明了多项式 monad 的 Weber Nerve 定理的 $\infty$-范畴版本，并由此从任意多项式 monad 定义一个典范的可扩张模式，其 Segal 空间等价于该 monad 的代数。这些构造给出了多项式 monad 与可扩张代数模式之间的函子，并且我们证明这些函子将“饱和”代数模式与“完全”多项式 monad 的满子范畴展示为局部化，而且限制为饱和模式与完全多项式 monad 的 $\infty$-范畴之间的等价。