论 Osborn 圈中的密码恒等式

本研究挖掘出 Osborn 圈的一些新代数性质，这将有助于未来揭示 Osborn 圈中中间内映射 $T_{(x)}$ 背后的奥秘。这些新代数性质将拓宽我们对 Osborn 圈（如在本 $21^\textrm{st}$ 世纪受到极大关注的 CC-loops 以及尚未被探索的 VD-loops）的研究视野。本研究广泛探讨了非 WIP Osborn 圈的某些代数性质。Huthnance 曾推导出具有 WIP（即通用弱 WIPLs）的 Osborn 圈的某些代数性质，因此本工作排除了 WIP 情形。首次引入了两个新的圈恒等式，即左自逆性质圈（LSIPL）恒等式和右自逆性质圈（RSLPL）恒等式，并证明了在 Osborn 圈中它们是等价的。研究证明，CC-loop 是幂结合的当且仅当它是 RSLPL 或 LSIPL。在已建立的少数 Osborn 圈恒等式中，其中一个被识别并推荐用于密码学，其精神类似于 Keedwell 利用交叉逆性质的做法；这是基于如下观察：不具备 LSIP、RSIP、3-PAPL 或较弱形式的逆性质、幂结合性及二重结合性等性质的 Osborn 圈将具有循环（甚至是长循环）。该恒等式被称为 Osborn 密码恒等式（或简称密码恒等式）。