关于四元数与八元数对数沿曲线的延拓及绕数

本文关注超复数对数沿路径连续延拓的问题。虽然复对数的一个分支可在严格负实点的小开邻域内定义，但超复数对数的任何连续分支都无法在任意包含严格负实点$x_0$的开集$A\subset \mathbb K\setminus \{0\}$中定义（此处$\mathbb K$表示四元数或八元数代数）。为克服这些困难，我们引入了对数流形$\mathscr E_\mathbb K^+$，并证明若$q\in\mathbb K,\ q=x+Iy$，则$E(x+Iy) = (\exp x \cos y + I\exp x \sin y, Iy)$是$\mathbb K$与$\mathscr E_\mathbb K^+$之间的浸入与微分同胚。本文考虑$\mathbb K\setminus\{0\}$中路径到对数流形$\mathscr{E}^+_\mathbb K$的升腾；尽管$\mathbb K \setminus \{0\}$单连通，一般地，给定$\mathbb K \setminus \{0\}$中一条路径，其到$\mathscr{E}^+_\mathbb K$的升腾未必存在。在$\mathbb K \setminus \{0\}$中提升一条路径的问题与沿该路径寻找超复数对数$\log_{\mathbb K}$的延拓问题之间存在显然的等价性。