关于 S. Koumandos 和 S. Ruscheweyh 的一个三角和猜想

S. Koumandos 和 S. Ruscheweyh 提出如下猜想：对于 $\rho\in(0,1]$ 和 $0<\mu\leq\mu^{\ast}(\rho)$，部分和 $s_n^{\mu}(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{(\mu)_k}{k!}z^k$，$0<\mu\leq1$，$|z|<1$，满足 \begin{align*} (1-z)^{\rho}s_n^{\mu}(z) \prec \left(\frac{1+z}{1-z}\right)^{\rho}, \qquad n\in \mathbb{N}, \end{align*} 其中 $\mu^{\ast}(\rho)$ 是方程 \begin{align*} \int_0^{(\rho+1)\pi} \sin(t-\rho\pi)t^{\mu-1}dt=0. \end{align*} 的唯一解。该猜想在 $\rho=\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{3}{4}$ 和 $\rho=1$ 时已被解决。本文中，我们验证了该猜想在 $\rho=\frac{1}{3}$ 的一个开邻域内成立，并以较弱形式在 $\rho=\frac{2}{3}$ 时成立。该猜想的特定值导致了若干与星象函数相关的推论。