关于 Eckhoff 与 Dolnikov 有关欧氏圆盘线横截猜想的注记

设 $K$ 为欧氏平面 $\mathbb R^2$ 中的凸体。若平移族 $\{ K + x : x \in X \}$ 存在一条线横截，则称点集 $X \subseteq \mathbb R^2$ 满足性质 $T(K)$。集合 $X$ 的一个较弱性质 $T(K, s)$ 是指：每个由至多 $s$ 个元素组成的子集 $Y \subseteq X$ 都满足性质 $T(K)$。以下问题可追溯到 Grünbaum：给定 $K$ 与 $s$，最小正数 $\lambda = \lambda(K, s)$ 是多少，使得 $\mathbb R^2$ 中每个具有性质 $T(K, s)$ 的有限点集也满足性质 $T(\lambda K)$？常数 $\lambda_{disj}(K, s)$ 类似定义，仅附加假设：对每个 $x, y \in X$，$x \neq y$，平移体 $x + K$ 与 $y + K$ 互不相交。一个特别令人感兴趣的情形是 $s = 3$ 且 $K = B$，其中 $B$ 为单位欧氏球。即，Eckhoff 以及（独立地）Dolnikov 曾猜想 $\lambda (B, 3) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$。本文提出一个更强的猜想，该猜想另一方面允许用有限字母表进行代数表述。我们在参数空间中足够稠密的网格上数值验证了该猜想，从而得到估计 $\lambda_{disj}(B, 3) \leq \lambda(B, 3) \leq 1.645$。这改进了先前已知的上界 $\lambda(B, 3) \leq \frac{1 + \sqrt{1 + 4\sqrt{2}}}{2} \approx 1.79$（Jerónimo Castro 与 Roldán-Pensado，2011）以及 $\lambda_{disj}(B, 3) \leq 1.65$（Heppes，2005）。