关于 Diwan 与 Mubayi 的一个着色 Turán 问题

设 $R$（红）和 $B$（蓝）是同一大小为 $n$ 的顶点集上的两个图，$H$ 是一个边带有红蓝着色的图。若 $R\cup B$ 不包含 $H$ 的拷贝，则 $R$ 和 $B$ 可以多大？称这样的最大整数为 $\mathrm{mex}(n, H)$。该问题由 Diwan 和 Mubayi 提出，他们猜想（除少数特定例外）当 $H$ 是 $k+1$ 个顶点上的完全图且边任意着色时，$\mathrm{mex}(n,H)=\mathrm{ex}(n, K_{k+1})$。该猜想推广了 Turán 定理。Diwan 和 Mubayi 还问及在此背景下的 Erdős-Stone-Simonovits 定理的类似物。我们证明了关于极值阈值的如下渐近刻画，用 $H$ 的色数 $\chi(H)$ 与 $H$ 的约化最大匹配数 $\mathcal{M}(H)$ 表示：$$\mathrm{mex}(n, H)=\left(1- \frac{1}{2(\chi(H)-1)} - \Omega\left(\frac{\mathcal{M}(H)}{\chi(H)^2}\right)\right)\frac{n^2}{2}.$$ $\mathcal{M}(H)$ 在 $H$ 的所有正常 $\chi(H)$-着色中，指最大的互不相交的颜色类对集合，其中每一对仅由单一颜色的边连接。该结果也对多于 $2$ 种颜色的情形得到证明，并且直到隐含常数因子都是紧的。我们还研究了当 $H$ 是边带有红蓝着色的圈时 $\mathrm{mex}(n, H)$ 的情况，并证明 $\mathrm{mex}(n, H)\lesssim \frac{1}{2}\binom{n}{2}$，这是紧的。