关于一类具有意外强相消和的求和及其 applications

在尝试对五边形数定理进行解析证明之后，我们报告了一个导致振荡和意外相消的一般性原理的发现。在陈述动机和我们的定理后，我们将其应用于证明关于 Prouhet-Tarry-Escott 问题、整数分拆和素数分布的若干结果。关于 Prouhet-Tarry-Escott 问题，我们证明 \begin{align*} \sum_{|\ell|\leq x}(4x^2-4\ell^2)^{2r}-\sum_{|\ell|<x}(4x^2-(2\ell+1)^2)^{2r}=\text{polynomial w.r.t. } x \text{ with degree }2r-1. \end{align*} 这或许可以利用伯努利多项式的性质证明，但该结论从我们的方法中以更自然且有动机的方式得出。利用此结果，我们解决了 PTE 问题的近似版本，并且在近似情形下的工作超越了利用鸽巢原理可证明的界限，这似乎值得注意。此外，我们证明 $$\sum_{\ell^2 < n} (-1)^\ell p(n-\ell^2)\ \sim\ (-1)^n 2^{-3/4} n^{-1/4} \sqrt{p(n)},$$ 其中 $p(n)$ 为通常的分拆函数。我们得到如下“弱五边形数定理”，其中可将分拆函数 $p(n)$ 替换为切比雪夫 $\Psi$ 函数： $$\sum_{0 < \ell < \sqrt{xT}/2} \Psi([e^{\sqrt{x - \frac{(2\ell)^2}{T}}},\ e^{\sqrt{x - \frac{(2\ell-1)^2}{T}}}])\ =\Psi(e^{\sqrt{x}})\left(\frac{1}{2} + O\left (e^{-0.196\sqrt{x}}\right)\right),$$ 其中 $T=e^{0.786\sqrt{x}}$，$\Psi([a,b]) := \sum_{n\in [a,b]} \Lambda(n)$，$\Psi(x) = \Psi([1,x])$，$\Lambda$ 为冯·曼戈尔特函数。注意这最后一个方程（对 $\ell$ 求和）比使用素数定理的强形式以及在每个区间上朴素使用黎曼假设所得到的更强，因为这些区间的宽度小于 $e^{\frac{1}{2} \sqrt{x}}$，使得 RH 估计为“平凡”的。