关于与离散 Laplace 算子相关的一类有理矩阵和插值多项式

设 $\dlap$ 为作用在函数（或有理矩阵）$f:\mathbf{Q}_L\to\mathbb{Q}$ 上的离散 Laplace 算子，其中 $\mathbf{Q}_L$ 是嵌入在 $\mathbb{Z}_2$ 中的尺寸为 $L$ 的二维格点。考虑一个 $L\times L$ 有理矩阵 $\mathcal{H}$，其内部元素 $\mathcal{H}_{ij}$ 满足 $\dlap\mathcal{H}_{ij}=0$。因此，矩阵 $\mathcal{H}$ 是双变量 Laplace 算子的经典五点有限差分近似。我们给出了一个构造性证明：对于任意 $L>2$，$\mathcal{H}$ 是双变量离散调和多项式在 $\mathbf{Q}_L$ 上的限制。这一结果证明了统计力学中确定性固定能量沙堆模型背景下提出的一个猜想。