广义 Petersen 图的 1-2 距离平衡性

对于直径 $diam(G) \ge \ell$ 的连通图 $G$，若对所有 $x,y \in V(G)$ 且 $d_G(x,y) = \ell$ 满足 $|W_{xy}| = |W_{yx}|$，则称 $G$ 为 $\ell$-距离平衡图，其中 $W_{xy}$ 为距离 $x$ 小于距离 $y$ 的顶点集合。证明当 $k \ge 3$ 且 $n > k(k+2)$ 时，广义 Petersen 图 $GP(n,k)$ 不距离平衡；且 $GP(k(k+2),k)$ 为距离平衡图。这显著改进了 Yang 等人[2009 年《Electron.\ J.\ Combin.\》第 16 期第 N33 号]的主要结果。还证明当 $k \ge 6$（$k$ 为偶数）且 $n > \frac{5}{4}k^2 + 2k$，或 $k \ge 5$（$k$ 为奇数）且 $n > \frac{7}{4}k^2 + \frac{3}{4}k$ 时，$GP(n,k)$ 不为 2-距离平衡。这些结果部分解决了 Miklavi\v{c} 和 \v{S}parl[2018 年《Discrete Appl.\ Math.\》第 244 期 143--154 页]的猜想。