非 $\ell$-距离平衡的广义 Petersen 图 $GP(n,3)$ 与 $GP(n,4)$

直径 ${\rm diam}(G) \ge \ell$ 的连通图 $G$ 称为 $\ell$-距离平衡的，若对每一对 $x,y\in V(G)$ 且 $d_{G}(x,y)=\ell$，均有 $|W_{xy}|=|W_{yx}|$，其中 $W_{xy}$ 是 $G$ 中到 $x$ 比到 $y$ 更近的顶点集合。我们证明：当 $n>16$ 时，广义 Petersen 图 $GP(n,3)$ 对任意 $1\le \ell < {\rm diam}(GP(n,3))$ 都不是 $\ell$-距离平衡的；当 $n>24$ 时，$GP(n,4)$ 对任意 $1\le \ell < {\rm diam}(GP(n,4))$ 都不是 $\ell$-距离平衡的。这部分解决了 \v{S}. Miklavi\v{c} 和 P. \v{S}parl 提出的一个猜想（Discrete Appl. Math. 244:143-154, 2018）。