图中的进攻联盟

对于无向图$G=(V,E)$，顶点集$S\subseteq V$称为一个进攻联盟，若每个$v\in N(S)$在$S$中的邻居数至少与其不在$S$中的邻居数（含自身）一样多。我们研究进攻联盟问题（目标是寻找最小规模的进攻联盟）的经典复杂性与参数化复杂性。此处我们关注自然参数以及度量输入实例结构性质的参数。我们从参数化复杂性视角增进了对该问题的理解：证明（1）以反馈顶点集数、树宽、路径宽和树深等一系列相当受限的结构参数为参数时，该问题是W[1]-难的；由此解决了Bernhard Bliem与Stefan Woltran（2018）提出的关于以树宽为参数的进攻联盟问题复杂性的开放问题；（2）除非ETH不成立，进攻联盟问题不能在时间$\mathcal{O}^{*}(2^{o(k \log k)})$内求解，其中$k$为解的大小；（3）以解大小与输入图的顶点覆盖为参数，进攻联盟问题不承认多项式核。在正面结果方面，我们证明（4）进攻联盟可在时间$\mathcal{O}^{*}(\tt{vc(G)}^{\mathcal{O}(\tt{vc(G)})})$内求解，其中$\tt{vc(G)}$为输入图的顶点覆盖数。就经典复杂性而言，我们证明（5）除非ETH不成立，即使限制于二部图，进攻联盟问题也不能在$2^{o(n)}$时间内求解；（6）除非ETH不成立，即使限制于顶点图（apex graphs），进攻联盟问题也不能在$2^{o(\sqrt{n})}$时间内求解。我们还证明（7）即使限制于二部图、弦图、分裂图与圆图，进攻联盟问题也是NP完全的。