笛卡尔积图中的无联盟集

设 $G=(V,E)$ 为一个图。对于非空顶点子集 $S\subseteq V$ 及顶点 $v\in V$，令 $\delta_S(v)=|\{u\in S:uv\in E\}|$ 表示 $v$ 在 $S$ 中的邻居集的基数，并令 $\bar{S}=V-S$。考虑以下条件：\begin{equation}\label{alliancecondition} \delta_S(v)\ge \delta_{\bar{S}}(v)+k, \end{equation} 该条件表明顶点 $v$ 在 $S$ 中的邻居数至少比在 $\bar{S}$ 中的邻居数多 $k$。一个对每个顶点 $v \in S$ 都满足条件 (\ref{alliancecondition}) 的集合 $S\subseteq V$ 称为**防御** $k$-**联盟**；对 $S$ 的邻域中的每个顶点 $v$ 都满足该条件的集合称为**进攻** $k$-**联盟**。一个顶点子集 $S\subseteq V$，如果它既是防御 $k$-联盟又是进攻 $(k+2)$-联盟，则称为**强大** $k$-**联盟**。此外，若子集 $X\subset V$ 不包含任何防御（相应地，进攻或强大）$k$-联盟，则称 $X$ 为防御（相应地，进攻或强大）$k$-联盟无关集。本文研究笛卡尔积图中防御（进攻、强大）$k$-联盟无关集与因子图中防御（进攻、强大）$k$-联盟无关集之间的关系。