无联盟集与联盟覆盖集

在$\Gamma=(V,E)$中的防御（进攻）$k$-\emph{联盟}是一个集合$S\subseteq V$，使得$S$中（在$S$的边界上）的每个$v$在$S$中的邻居比在$V\setminus S$中至少多$k$个。一个集合$X\subseteq V$是防御（进攻）$k$-\emph{无联盟集}，如果对所有防御（进攻）$k$-联盟$S$，$S\setminus X\neq\emptyset$，即$X$不包含任何防御（进攻）$k$-联盟作为子集。一个集合$Y \subseteq V$是防御（进攻）$k$-\emph{联盟覆盖}，如果对所有防御（进攻）$k$-联盟$S$，$S\cap Y\neq\emptyset$，即$Y$包含来自$\Gamma$的每个防御（进攻）$k$-联盟的至少一个顶点。本文展示了防御（进攻）$k$-无联盟集与防御（进攻）$k$-联盟覆盖集的若干数学性质，包括防御（进攻）$k$-无联盟（覆盖）集基数的紧界。