有向图中的全局进攻性 $k$-联盟

本文开创了有向图中全局进攻性 $k$-联盟的研究。给定有向图 $D=(V(D),A(D))$,有向图 $D$ 中的全局进攻性 $k$-联盟是一个子集 $S\subseteq V(D)$,使得 $S$ 外部的每个顶点至少有一个来自 $S$ 的入邻居,并且来自 $S$ 的入邻居数量比来自 $S$ 外部的入邻居数量至少多 $k$ 个,其中假设 $k$ 为介于 $D$ 的最大入度减二与 $D$ 的最大入度之间的整数。全局进攻性 $k$-联盟数 $\gamma_{k}^{o}(D)$ 是 $D$ 中所有全局进攻性 $k$-联盟的最小基数。本文开始研究有向图的全局进攻性 $k$-联盟数。例如,我们证明了对于任意 $k\in \{2-\Delta^-(D),\dots,\Delta^-(D)\}$,求解有向图 $D$ 的全局进攻性 $k$-联盟数是一个 NP-hard 问题;并且当考虑上述区间中 $k$ 的非负值时,即使限制在二部有向图上,该问题仍然是 NP-complete 的。基于这些事实,本文给出了 $\gamma_{k}^{o}(D)$ 的下界,并对达到该界的所有有向图进行了刻画。我们还从上方对该参数在二部有向图中的取值进行了界定。对于 $k=1$ 的特殊情况,定义的一个直接结果表明,对于所有有向图 $D$,均有 $\gamma(D)\leq \gamma_{1}^{o}(D)$,其中 $\gamma(D)$ 表示 $D$ 的支配数。我们证明,对于某些无限族有向图(如有根树和反函数有向图),这两个有向图参数是相同的。此外,我们证明,对于有向树和连通函数有向图,$\gamma_{1}^{o}(D)$ 与 $\gamma(D)$ 之间的差可以任意大。