关于 Lie 代数 $\mathfrak{g}_2 \subset \mathfrak{so}(7)$、结合 $3$-平面与 $\mathfrak{so}(4)$ 子代数的若干观察

我们给出若干关联 Lie 代数 $\mathfrak{g}_2 \subset \mathfrak{so}(7)$、结合 $3$-平面与 $\mathfrak{so}(4)$ 子代数的观察。其中一些可能为人熟知但难以在文献中查到，另一些则是新结果。我们证明元素 $X \in \mathfrak{g}_2$ 不可能具有秩 $2$，若其具有秩 $4$ 则其核为结合子空间。我们证明了 $\mathfrak{g}_2$ 中元素的典范形式定理。给定 $\mathbb R^7$ 中的结合 $3$-平面 $P$，我们构造 $\mathfrak{so}(7) = \Lambda^2 (\mathbb R^7)$ 的一个同构于 $\mathfrak{so}(4)$ 的 Lie 子代数 $\Theta(P)$。该 $\mathfrak{so}(4)$ 子代数不同于其他已知的由结合 $3$-平面确定的 $\mathfrak{so}(7)$ 的 $\mathfrak{so}(4)$ 子代数构造。这些是一个 NSERC 本科生研究项目的结果。本文写作力求让广泛读者易于理解。