具有两个对易Killing矢量的爱因斯坦方程基于联络与曲率变量的可观测量

本文考虑具有两个对易Killing矢量的爱因斯坦方程及其相关Lax对。研究了联络 $A(\varsigma, \eta, \gamma)=\Psi_{,\gamma}\Psi^{-1}$ 的方程，其中 $\gamma$ 为谱参数。定义了 $A$ 的转移矩阵 ${\cal T}= A(\varsigma, \eta, \gamma)A^{-1}(\xi, \eta, \gamma)$，用以关联入射与出射光锥处的 $A$。结果表明其满足可积偏微分方程理论中熟知的方程。类似地定义了 $\varsigma={\mbox constant}$ 上的转移矩阵。这些转移矩阵使我们能够纯粹依据联络 $g_{,\varsigma}g^{-1}$ 与 $g_{,\eta}g^{-1}$ 之函数迹，获得关于时间的一列运动积分。此外，还得到了一列基于曲率变量 $B=A_{,\gamma}A^{-1}$（涉及对易子 $[A(1), A(-1)]$）的运动积分。我们将支配 $\sigma=ln N$（$N$ 为时移）的非齐次波动方程解释为克莱因-戈登方程，一种基于首个联络可观测量关联能量与动量密度的色散关系，因此该首个可观测量对应于质量。相应的量子算符为 $\frac{\partial}{\partial t}$、$\frac{\partial}{\partial z}$，这意味着我们可使用完整的庞加莱群。