可观测量 I：Stone谱

在本工作中，我们从新的视角讨论可观测量——包括量子与经典——的概念。在经典力学中，可观测量被表示为一个函数（可测、连续或光滑），而在（冯·诺依曼的）量子物理方法中，可观测量被表示为Hilbert空间上的有界自伴算子。我们将在本工作的第二部分表明，这两种不同概念背后存在一种共同结构。若 $\mathcal{R}$ 是一个冯·诺依曼代数，则自伴元 $A \in \mathcal{R}$ 诱导出一个连续函数 $f_{A} : \mathcal{Q}(\mathcal{P(R)}) \to \mathbb{R}$，其定义于 $\mathcal{R}$ 中投影格 $\mathcal{P(R)}$ 的\emph{Stone谱} $\mathcal{Q}(\mathcal{P(R)})$ 上。一般格 $\mathbb{L}$ 的Stone谱 $\mathcal{Q}(\mathbb{L})$ 是 $\mathbb{L}$ 中极大对偶理想的集合，赋予典范拓扑。当 $\mathbb{L}$ 为布尔代数时，$\mathcal{Q}(\mathbb{L})$ 与Stone的构造一致（故此称“Stone”）；当 $\mathbb{L} = \mathcal{P(R)}$ 时，其与阿贝尔冯·诺依曼代数 $\mathcal{R}$ 的Gelfand谱同胚（故此称“谱”）。