度量空间上数据的可观测协方差与主可观测分析

由形状、网络、图像或叠加在此类几何对象上的信号等对象组成的数据集弥漫于数据科学中。此类数据集通常配备度量，用于量化任意一对元素之间的相似性或差异性，从而将它们转化为度量空间$(X,d)$，或若通过概率测度$\mu$也考虑了数据密度则转化为度量测度空间$(X,d,\mu)$。本文发展了一种基于度量可观测量的度量测度空间Lipschitz几何分析方法；即1-Lipschitz标量场$f \colon X \to \mathbb{R}$，它们通过投影测度$f_\sharp (\mu)$将$(X,d,\mu)$约化到$\mathbb{R}$。综合而言，度量可观测量在所有空间尺度上捕获了$(X,d,\mu)$形状的丰富信息。特别地，我们可以定义稳定的统计量，如可观测均值与可观测协方差算子$M_\mu$和$\Sigma_\mu$。通过类似于主成分分析的方差最大化原理，$\Sigma_\mu$导出了我们称为主可观测分析的度量测度数据向量化、降维和可视化方法。该方法还提供了在可观测域中表示$X$上信号的基础函数。