Riemann-Stieltjes 二重积分的多种逼近

Riemann-Stieltjes 积分 $\int_a^b {f\left( t \right)du\left( t \right)}$ 的概念，其中 $f$ 称为被积函数，$u$ 称为积分函数，在数学中起着重要作用。近年来，许多作者研究了基于 Riemann-Stieltjes 和的 Riemann-Stieltjes 积分 $\int_a^b {f\left( t \right)du\left( t \right)}$ 的逼近问题。然而，对于二元映射，即基于 Riemann-Stieltjes 二重和的 Riemann-Stieltjes 二重积分 $\int_a^b {\int_c^d {f\left( {t,s} \right)d_s d_t u\left( {t,s} \right)} }$ 的逼近问题，鲜有关注且研究甚少。本研究致力于在各种关于被积函数 $f$ 和积分函数 $u$ 的假设下，获得 $\int_a^b {\int_c^d {f\left( {t,s} \right)d_s d_t u\left( {t,s} \right)} }$ 的多个界。本文主要大量使用了有界变差与有界双变差的概念。引入了几种提出的求积公式来逼近此类二重积分。对于二元映射，引入并讨论了针对有界变差、有界双变差、Lipschitz 和单调映射的几种梯形型、Gr"{u}ss 型和 Ostrowski 型不等式。具体而言，证明了 $\mathcal{RS}$-二重积分的梯形型法则，并由此建立了二元映射的经典 Hermite-Hadamard 不等式。利用 Korkine 型恒等式，获得了可积函数的几种 Gr"{u}ss 型不等式。最后，建立并研究了具有有界双变差、Lipschitz 和绝对连续的 $n$ 阶偏导数的二元实函数的逼近。