分数阶变分法与最优控制问题的数值逼近
摘要
本章介绍了求解分数阶变分法与分数阶最优控制问题的一些数值方法。尽管文献中已有大量方法，我们主要集中于两种逼近分数阶问题的策略：要么离散化分数阶项，要么将分数阶导数展开为涉及整数阶导数的级数。前一种方法作为变分法理论中直接方法的一个子类，利用有限差分（此处采用 Grunwald-Letnikov 定义）来离散化分数阶项。随后，根据所需的精度选用任意求积法则对整个包括约束在内的问题进行离散化。该方法的最后一步是求解一个静态优化问题，以获得未知函数在某些网格点上的逼近值。而后一种方法则通过仅包含整数阶导数的经典问题来逼近分数阶问题。具体而言，我们引入了两种通过涉及常导数的级数对分数阶导数进行的连续逼近。我们提供了截断误差的局部上界，并通过一些测试函数验证了逼近的精度。接着，我们用这些级数替换原问题中的分数阶项，从而将分数阶问题转化为常微分问题。此后，我们利用经典理论的间接方法（例如 Euler-Lagrange 方程）来求解该逼近问题。这些方法主要通过一些具体实例进行阐述，这些实例要么具有显而易见的解，要么其解是利用分数阶 Euler-Lagrange 方程计算得出的。
引用
@article{arxiv.1310.5377,
title = {Numerical Approximations to Fractional Problems of the Calculus of Variations and Optimal Control},
author = {Shakoor Pooseh and Ricardo Almeida and Delfim F. M. Torres},
journal= {arXiv preprint arXiv:1310.5377},
year = {2014}
}
备注
This is a preprint of a paper whose final and definite form appeared in: Chapter V, Fractional Calculus in Analysis, Dynamics and Optimal Control (Editor: Jacky Cresson), Series: Mathematics Research Developments, Nova Science Publishers, New York, 2014. (See http://www.novapublishers.com/catalog/product_info.php?products_id=46851). Consists of 39 pages