玻色-爱因斯坦凝聚体中自相似湍流的数值分析

我们研究描述玻色-爱因斯坦凝聚体中弱波湍流的动力学方程的一个自相似解。该解大概对应于由广泛类别初始数据演化的能谱的渐近行为，其特征是波能谱 $n(\omega)$ 在零频率 $\omega$ 处发生非平衡有限时间凝聚。该自相似解属第二类，并满足如下边界条件：在 $\omega=0$ 处为非零常数谱（其所有导数均为零），以及在 $\omega \to \infty \;\; x\in \mathbb{R}^+$ 时呈幂律渐近 $n(\omega) \to \omega^{-x}$。求其解等价于求解一个非线性特征值问题，即找出使这两个边界条件能同时满足的指数 $x$ 的值 $x^*$。为求解此问题，我们开发了一种基于 Chebyshev 近似和双指数公式评估碰撞积分的新高精度算法，以及求解自相似形状函数积分微分方程的迭代技术。该过程可获得精度约 $4.7\%$ 的解，对应于 $x^* \approx 1.22$。