二元型族表示的整数个数 II：二项式型

我们考虑一些二元二项式型族 $aX^d+bY^d$，其中 $a$ 和 $b$ 为整数。在适当假设下，我们证明任意有理整数 $m$（满足 $|m|\ge 2$）仅被该族中有限个此类型（随 $d,a,b$ 变化）表示。此外，表示 $m$ 且次数 $\ge d_0$ 的此类型的数量一致地以 $O(|m|^{(1/d_0)+\epsilon})$ 为界，对 $\vert m \vert \geq 2$ 一致成立。我们还证明，区间 $[-N,N]$ 中被该族中次数 $d\geq d_0$ 的某一型表示的整数，几乎全都被该族中次数 $d=d_0$ 的某一型表示。在先前一篇论文中，我们研究了二元二项式型为正定的特例。现在我们利用对数线性型的下界处理一般情形。