利用更新理论研究分裂树的新特征

我们研究了由Devroye引入的随机分裂树的特征；分裂树包括二叉搜索树、$m$叉搜索树、四叉树、$(2k+1)$树的中位数、单纯形树、trie树和数字搜索树等。更精确地说：我们引入了更新理论在分裂树研究中的应用，并利用该理论证明了关于分裂树的若干结果。一个基数为$n$的分裂树是通过将$n$个“球”（通常代表“关键数字”）分布在一棵无限树的顶点子集中来构建的。我们的主要结果之一是在确定性球数$n$和随机顶点数$N$之间建立关系。Devroye已经找到了最后插入球深度的中心极限定理，因此大多数顶点接近$\frac{\ln n}{\mu}+\mathcal{O}\Big(\sqrt{\ln n}\Big)$，其中$\mu$是依赖于分裂树类型的常数；我们通过找到深度$\geq\frac{\ln n}{\mu}+\ln^{0.5+\epsilon} n$或深度$\leq\frac{\ln n}{\mu}+\ln^{0.5+\epsilon} n$的顶点数的期望上界（对于任意$\epsilon>0$）来改进这一结果。我们还找到了树中球深度的方差的首项渐近形式。