记录偏置树的高度

给定置换 $\sigma$，其对应的二叉搜索树通过递归地将数值 $\sigma(1),\ldots,\sigma(n)$ 插入二叉树得到，使得每个节点的标号大于其左子树标号且小于其右子树标号。1986 年，Devroye 证明了当 $\sigma$ 为随机均匀置换时，此类树的高度在 $n$ 趋于无穷时为 $(c^*+o_\mathbb{P}(1))\log n$ 阶，其中 $c^*$ 是方程 $c\log(2e/c)=1$ 在 $c\geq2$ 下的唯一解。本文中，我们研究由 Auger、Bouvel、Nicaud 和 Pivoteau 于 2016 年引入的置换记录偏置模型所抽取的二叉搜索树的高度。记录偏置分布是置换集合上权重正比于 $\theta^{\mathrm{record}(\sigma)}$ 的概率测度，其中 $\mathrm{record}(\sigma)=|\{i\in[n]:\forall j<i,\sigma(i)>\sigma(j)\}|$。我们证明，由参数为 $\theta$ 的大小为 $n$ 的记录偏置置换构建的二叉搜索树的高度为 $(1+o_\mathbb{P}(1))\max\{c^*\log n,\,\theta\log(1+n/\theta)\}$ 阶，从而给出了此类树高度一阶渐近行为的完整刻画。