由手术操作获得的折叠映射及其 Reeb 空间的代数信息笔记

流形上的 Morse 函数及其高维版本或折叠映射的理论及其对流形几何理论的应用是几何与数学的重要分支之一。相关研究始于 1950 年代由 Thom 和 Whitney 等微分拓扑学家，并一直被积极研究。在本文中，我们研究通过对基本折叠映射进行手术操作得到的折叠映射，特别是 Reeb 空间——定义为所有原像连通分支的空间，并在适当情形下继承如（上）同调群等基本且重要的代数不变量。Reeb 空间也是研究流形的一般基本且重要的工具。作者已对 Reeb 空间的上同调群进行了研究并获得了若干结果，本文作为更精细的信息，针对若干具体情形研究其 cohomology 环。这些研究源于一个难题：显式折叠映射的构造对于以几何和构造性方式研究（显式流形类的世界）流形十分重要且困难。对标准球面、标准球面的乘积以及表示为它们连通和的流形等最简单流形，构造这些映射并不困难。我们通过折叠映射的系统性构造，看到了 Reeb 空间的各种类型的上同调环。