关于超平面 $\alpha$-分位函数弱收敛及其在斯科罗哈德 J1 拓扑下的连续性

随机过程 $M_{t,{\alpha}}$ 的 ${\alpha}$ 分位 introduced in Miura (Hitotsubashi J Commerce Manag 27(1):15-28, 1992)，并在 Akahori (Ann Appl Probab 5(2):383-388, 1995), Dassios (Ann Appl Probab 5(2):389-398, 1995) 和 Yor (J Appl Probab 32(2):405-416, 1995) 中得到重要的分布性质，特别关注 ${\alpha}$ 分位期权定价问题。我们直接将经典的单维设置推广到 $\mathbb{R}^d$，引入超平面 ${\alpha}$ 分位，并发现 ${\alpha}$ 分位作为 $\mathbb{R}^d$ 值 cadlag 函数到 $\mathbb{R}$ 的函数映射的显式连续集。这种表述允许我们使用连续映畸映射，若 $\mathbb{R}^d$ 值 cadlag 随机过程 $X$ 概率上属于此连续集，则 $X^n \Rightarrow X$（即斯科罗哈德意义上的弱收敛）蕴含 $M_{t,{\alpha}}(X^n) \to^\textrm{w} M_{t,{\alpha}}(X)$（即常规意义上的弱收敛）。我们进一步讨论关于 '随机时间' 功能 $M_{t,{\alpha}}$ 的收敛条件，即 ${\alpha}$ 分位首次被触及的时刻，适用于在斯科罗哈德拓扑下收敛的 cadlag 函数序列。Brownian 分布的讨论见于 Chaumont (J Lond Math Soc 59(2):729-741, 1999) 和 Dassios (Bernoulli 11(1):29-36, 2005)。最后我们证明：若 cadlag 随机过程序列的极限过程是具有非平凡协方差结构的多维 Brownian 运动，则对该序列过程施加的随机时间功能与 ${\alpha}$ 分位一起在常规意义上弱收敛。