关于离散时间值函数（非）光滑性的注记

我们考虑离散时间停止问题 $$V(t,x) = \sup_{\tau}E_{(t,x)}[g(\tau, X_\tau)],$$ 其中 $X$ 为随机游动。众所周知，值函数 $V$ 在继续集边界 $\partial C$ 上一般不平滑。我们证明在某些条件下 $V$ 在 $C$ 的内部也不平滑。更确切地说，我们证明 $V$ 在 $C$ 的稠密子集上关于 $x$ 分量不可微。作为例子我们考虑 Chow-Robbins 博弈。我们给出证据表明 $\partial C$ 同样不平滑且 $C$ 非凸，即使对每个 $t$ 有 $g(t,\cdot)$ 为凸。