关于 $SU(2)$ 孤立视界的注记

我们指出，以 Sen-Ashtekar-Immirzi-Barbero 变量写出的、以孤立视界为内边界的时空的辛结构，若 $\gamma\neq\pm i$（其中 $\gamma$ 为 Barbero-Immirzi 参数），则涉及一个正的常数参数，记为 $\sigma$。参数 $\sigma$ 表示刻画孤立视界零生成元等价类的重标度自由度。我们重申，与孤立视界关联的力学定律不依赖于 $\sigma$ 的选择，特别地，当以标准表面引力值作为输入时，并未将 $\sigma$ 固定为某一特定值。这一事实与我们所恰当引用的相关文献中某些部分的断言相矛盾。我们以 Schwarzschild 度规为例进行计算，从而使与所引文献（其中采用了类似方法）的矛盾变得明显。来自孤立视界对辛结构的贡献在 $\sigma^2=(1+\gamma^2)^{-1}$ 时发散，意味着对于任意实 $\gamma$，孤立视界的重标度对称性被破坏。由于 LQG 框架下 $SU(2)$ 孤立视界的量子理论仅对实 $\gamma$ 值存在，其建立于这一有缺陷的经典设定之上。尽管如此，若忽略该缺陷，文献中仍存在两种用于熵计算的不同观点。我们强调这些方法的主要特征，并指出何者在逻辑上可行、何者不可。