关于 $Spin(3,1)$ 张量、Dirac 场与 $GL(k, \mathbb{R})$ 对称性 的注记

我们展示了实矩阵 $r$（即 $Spin(3,1)$ 张量）的秩分解导致 $2k$ 个马约拉纳双矢量，其中 $k=rank\: r$。马约拉纳双矢量在局部 $GL(k, \mathbb{R})$ 变换下确定。这些双矢量以成对形式组合形成 $k$ 个复 Dirac 场。我们详细分析了 $k=1$ 的情况，即仅有一个 Dirac 场，具有标准拉格朗日量。$GL(1, \mathbb{R})$ 对称性导致一个新的守恒电流，与众所周知的 $U(1)$ 电流不同。$U(1)$ 对称性也存在。所有全局连续内部对称性在 $k=1$ 情形下形式化为 $SO(2,1)$ 群。作为副结果，我们阐明了文献中讨论的议题：是否存在等价于 $rank\: r=1$ 条件的矩阵 $r$ 的代数约束。