具有吸引三体相互作用的 3D 偶极 Bose-Einstein 凝聚态的归一化基态

我们研究具有吸引三体相互作用的 3D 偶极 Bose-Einstein 凝聚态方程归一化基态的存在性：\begin{align}\label{1} -\Delta u+\beta u+\lambda_1|u|^2 u+\lambda_2 (K*|u|^2)u-|u|^4u=0.\tag{DBEC} \end{align} 当 $\lambda_2=0$ 或 $u$ 为径向时，(\ref{1}) 退化为三次-五次 NLS \begin{align}\label{2} -\Delta u+\beta u+\lambda_1|u|^2 u-|u|^4u=0\tag{CQNLS}, \end{align} 该方程近期由 Soave 在 [31] 中研究。特别地，已证明对任意 $\lambda_1<0$ 与 $c>0$，(\ref{2}) 具有质量为 $c$ 的径向对称基态解；而对 $\lambda_1\geq 0$，(\ref{2}) 无非平凡解。我们表明，通过在 (\ref{2}) 中加入偶极-偶极相互作用，({\ref{2}) 的几何性质发生剧烈变化，且 [31] 中的方法不再能用于获得类似结果。更确切地说，由于偶极-偶极相互作用势的轴对称性，对应于 (\ref{1}) 的能量在对称重排下不稳定，因此基于解径向对称性的常规论证不适用。我们将通过精细的变分与微扰方法克服此困难，并证明如下：(i) 若对 $(\lambda_1,\lambda_2)$ 不稳定且 $\lambda_1<0$，则对任意 $c>0$，(\ref{1}) 具有质量为 $c$ 的基态解。(ii) 若对 $(\lambda_1,\lambda_2)$ 不稳定且 $\lambda_1\geq 0$，则存在某个 $c^*=c^*(\lambda_1,\lambda_2)\geq 0$，使得对所有 $c>c^*$，(\ref{1}) 具有质量为 $c$ 的基态解。此外，此情形下 (\ref{1}) 的任何非平凡解必为非径向的。(iii) 若对 $(\lambda_1,\lambda_2)$ 稳定，则 (\ref{1}) 无非平凡解。